素因数分解を利用した問題 中学数学


素因数分解を利用した問題について解説します。

(例1)
324はある数の2乗である。ある数とはいくつか。
まずは324を素因数分解します。
324=2×2×3×3×3×3
ここでは累乗を使わず書いた方がわかりやすいです。
324がある数の2乗であるということは、324が
(同じ数)×(同じ数)
の形で表せるということです。
したがって素因数分解した結果を2つの(  )に同じように分けます。
2は2個あるので1つずつ
3は4個あるので2つずつ
(2×3×3)×(2×3×3)
=18×18
よってある数は18であることがわかります。

(例2)
294にできるだけ小さい自然数数をかけて、ある自然の数の2乗にしたい。かける数はいくつか。
まずは294を素因数分解します。
294=2×3×7×7
(例1)と同じように分けます。
7→2個あるので1つずつ
2と3はそれぞれ1つしかないので、片方の(  )にしか入れられません。
(7×2×3)×(7×  )
これでは(同じ数)×(同じ数)になっていません。
右側の(  )を左側の(  )と同じにするには2×3をつけ足します。
このつけ足す数が答えになります。
よって、正解は6になります。

もしこの問題が、できるだけ小さい自然数でわって、ある自然数の2乗にしたい。わる数はいくつか。
となっていたらどうでしょう。
(  )に分けた状態は先ほどと同じで、
(7×2×3)×(7×  )の状態です。
この場合は(同じ数)×(同じ数)の形をつくるために余っている数字をなくします。
この場合は、左側の(  )を右側の(  )と同じにするために2×3でわります。
よって、この場合も正解は6になります。
  

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